Пропорции для: Пропорция (математика) — Википедия – Пропорции | Формулы с примерами

Содержание

Пропорция (математика) — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

У этого термина существуют и другие значения, см. Пропорция.

Пропо́рция (лат. proportio — соразмерность, выравненность частей; определённое соотношение частей между собой), равенство отношений двух [и более] пар чисел a,b{\displaystyle a,b} и c,d{\displaystyle c,d}, т. е. равенство вида a:b=c:d{\displaystyle a:b=c:d}, или, в других обозначениях, равенство  ab=cd{\displaystyle \ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} (часто читается как: «a{\displaystyle a} относится к b{\displaystyle b} так же, как c{\displaystyle c} относится к d{\displaystyle d}»). В этом случае a{\displaystyle a} и d{\displaystyle d} называют крайними, b{\displaystyle b} и c{\displaystyle c} — средними членами пропорции. Такую пропорцию ещё называют геометрической, чтобы не путать с арифметической и гармонической пропорциями.

 ac=bd{\displaystyle \ {\frac {a}{c}}={\frac {b}{d}}}    (перестановка средних членов пропорции),
 db=ca{\displaystyle \ {\frac {d}{b}}={\frac {c}{a}}}    (перестановка крайних членов пропорции).
  • Увеличение и уменьшение пропорции.
    Если  ab=cd{\displaystyle \ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}, то
 a+bb=c+dd{\displaystyle \ {\dfrac {a+b}{b}}={\dfrac {c+d}{d}}}    (увеличение пропорции),
 a−bb=c−dd{\displaystyle \ {\dfrac {a-b}{b}}={\dfrac {c-d}{d}}}    (уменьшение пропорции).
  • Составление пропорции сложением и вычитанием. Если  ab=cd{\displaystyle \ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}, то
 a+cb+d=ab=cd{\displaystyle \ {\dfrac {a+c}{b+d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}    (составление пропорции сложением),
 a−cb−d=ab=cd{\displaystyle \ {\dfrac {a-c}{b-d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}    (составление пропорции вычитанием).

Первое известное определение равных пропорций было дано как равенство последовательных вычитаний[1], современным языком это можно выразить как равенство цепных дробей для отношений величин.[2] Позже Евдокс упростил определение, равенство пропорций a:b=c:d{\displaystyle a:b=c:d} им определялось как одновременное выполнение одной из трёх пар соотношений

для любой пары натуральных чисел m{\displaystyle m} и n{\displaystyle n}. Это определение даётся в «Началах» Евклида.

С появлением вещественных чисел отпала необходимость в специальной теории пропорций, древние математики не рассматривали пропорции длины как числа. Определение Евдокса, в несколько более абстрактном виде использовалось далее при определении вещественных чисел данное Дедекиндом через сечения.

Арифметическая пропорция[править | править код]

Равенство двух разностей a−b=c−d{\displaystyle a-b=c-d} иногда называют арифметической пропорцией[3].

Гармоническая пропорция[править | править код]

Если у геометрической пропорции средние члены равны, а последний является разницей между первым и средним, такая пропорция называется

гармонической: a:b=b:(a−b){\displaystyle a:b=b:(a-b)}. В этом случае, разложение a{\displaystyle a} на сумму двух слагаемых b{\displaystyle b} и a−b{\displaystyle a-b} называется гармоническим делением или золотым сечением[4].

В содержание задачи на простое тройное правило входят две величины, связанные пропорциональной зависимостью, при этом даются два значения одной величины и одно из соответствующих значений другой величины, требуется же найти её второе значение.

Задачами на сложное тройное правило называют задачи, в которых по ряду нескольких (более двух) пропорциональных величин требуется найти значение одной из них, соответствующее другому ряду данных значений величин[5][6].

  • Ван дер Варден, Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. / пер. с голл. И. Н. Веселовского. —
    М.
    : ГИФМЛ, 1959.

Пропорции | Формулы с примерами

Что такое пропорция?

Определение
Пропорция — это верное равенство двух отношений.

пропорция

Где a ? 0, b ? 0, c ? 0, d ? 0.

a и d — называют крайними членами пропорции;
b и c — называют средними членами пропорции.

Пример
3  =  18   или 3 : 5 = 18 : 30;
5 30
7  =  21   или 7 : 3 = 21 : 9;
3 9
12  =  48   или 12 : 15 = 48 : 60.
15 60

Основное свойство пропорции

Свойство
Основное свойство пропорции

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.

Пример
12  =  24 , значит 12 • 8 = 4 • 24;
4 8
11  =  33 , значит 11 • 21 = 7 • 33;
7 21
23  =  69 , значит 23 • 42 = 14 • 69.
14 42

Обратное свойство

Свойство Обратное свойство Пример
11 • 4 = 2 • 22 значит,  11  =  22 ;
2 4
21 • 6 = 42 • 3 значит,  21  =  42 ;
3
6
33 • 21 = 7 • 99 значит,  33  =  99 .
7 21

Производные пропорции

Правило
Производные пропорции Пример
4  =  8  или  7  =  14  или  8  =  17  или  4  =  7 ;
7 14 4 8 4 7 8 14
5  =  10  или  6  =  12  или  10  =  12  или  5  =  6 ;
6 12 5 10 5 6 10 12
9  =  18  или  3  =  6  или  6  =  18  или  9  =  3 .
3 6 9 18 3 9 18 6

Правило
! По трем известным членам пропорции всегда можно найти
ее неизвестный член.

Пример
15  =  x , значит x = 15 • 14  = 15 • 2 = 30;
7 14 7
21  =  x , значит x = 21 • 9  = 21 • 3 = 63;
3 9 3
33  =  99 , значит x = 4 • 99  = 4 • 3 = 12.
4 x 33

Отношения

Определение
Отношением двух чисел a и b называется их частное a : b.

Показывает во сколько раз a больше b или какую часть число a составляет от b.1

Примеры отношений

Пример 1
Отношение числа 16 к числу 4 равно 16 : 4 = 4, т.е. 16 в 4 раза больше чем,
чем 4.

Пример 2
Отношение числа 4 к числу 12 равно 4 : 12 = 13, т.е. 4 составляет треть
от числа 12.

Пример 3
Масса стакана с жидкостью равна 440г. Стакан весит 40г. Какую часть
всей массы составляет масса стакана? Во сколько раз масса стакана с
жидкостью больше массы жидкости?

Решение:

Масса стакана составляет 40 : 440 =  1 11 часть полной массы.
Масса жидкости равна 440 — 40 = 400г; масса стакана с жидкостью больше массы самой жидкости в 440 : 400 = 1,1 раза.

Пропорция

Продолжаем изучать соотношения. В данном уроке мы познакомимся с пропорцией.

Что такое пропорция?

Пропорцией называют равенство двух отношений. Например, отношение  равно отношению 

Данная пропорция читается следующим образом:

Десять так относится к пяти, как два относится к одному

Предположим, что в классе 10 девочек и 5 мальчиков

Запишем отношение десяти девочек к пяти мальчикам:

10 : 5

Преобразуем данное отношение в дробь

Выполнив деление в этой дроби, мы получим 2. То есть десять девочек так будут относиться к пяти мальчикам, что на одного мальчика будет приходиться две девочки

Теперь рассмотрим другой класс в котором две девочки и один мальчик

Запишем отношение двух девочек к одному мальчику:

2 : 1

Преобразуем данное отношение в дробь:

Выполнив деление в этой дроби, мы снова получим 2. То есть две девочки так будут относиться к одному мальчику, что на этого одного мальчика будут приходиться две девочки:

Можно сделать вывод, что отношение  пропорционально отношению . Поэтому оно и читалось как «десять так относится к пяти, как два относится к одному».

В нашем примере десять девочек так относятся к пяти мальчикам, как и две девочки относятся к одному мальчику.

Пример 2. Рассмотрим отношение 12 девочек к 3 мальчикам

а также отношение 12 девочек к 2 мальчикам

Данные отношения не являются пропорциональными. Другими словами, мы не можем записать, что , поскольку первое отношение, как видно на рисунке показывает, что на одного мальчика приходятся четыре девочки, а второе отношение показывает, что на одного мальчика приходятся шесть девочек.

Поэтому отношение  не пропорционально отношению .

Из рассмотренных примеров видно, что пропорция составляется из дробей. Первая рассмотренная нами пропорция  состоит из двух дробей. Если выполнить деление в этих дробях, то получим, что 2=2. Понятно, что 2 равно 2.

Вторая рассмотренная нами пропорция была . Мы пришли к выводу, что она составлена неправильно, поэтому поставили между дробями  и  знак не равно (≠). Если выполнить деление в этих дробях, получим числа 4 и 6. Понятно, что 4 не равно 6.

Рассмотрим пропорцию . Данная пропорция составлена правильно, поскольку отношения    и    равны между собой:

Можно проверить это, выполнив деление в этих дробях, то есть разделить 4 на 2, а 8 на 4. В результате с двух сторон получатся двойки. А 2 равно 2

2 = 2

Все числа, находящиеся в пропорции (числители и знаменатели обеих дробей) называются членами пропорции. Эти члены подразделяются на два вида: крайние члены и средние члены.

В нашей пропорции    крайние члены это 4 и 4, а средние члены это 2 и 8

Почему крайние члены называют крайними, а средние средними? Если записать пропорцию не в дробном, а в обычном виде, то сразу станет всё понятно:

4 : 2 = 8 : 4

Числа 4 и 4 располагаются с краю, поэтому их назвали крайними, а числа 2 и 8 располагаются посередине, поэтому их назвали средними:

С помощью переменных пропорцию можно записать так:

Данное выражение можно прочесть следующим образом:

a так относится к b, как c относится к d

Смысл данного предложения уже понятен. Речь идет о членах, участвующих в соотношении. a и d — это крайние члены пропорции, b и c — средние члены пропорции.


Основное свойство пропорции

Основное свойство пропорции выглядит следующим образом:

Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.

Мы знаем, что произведение это ни что иное, как обычное умножение. Чтобы проверить правильно ли составлена пропорция, нужно перемножить её крайние и средние члены. Если произведение крайних членов будет равно произведению средних членов, то такая пропорция составлена правильно.

Например, проверим правильно ли составлена пропорция . Для этого перемножим её крайние и средние члены. Легко заметить, что крайние и средние члены пропорции располагаются «крест-накрест», поэтому в умножении нет ничего сложного. Перемножаем члены пропорции «крест-накрест»:

4 × 4 = 16 — произведение крайних членов пропорции равно 16.

2 × 8 = 16 — произведение средних членов пропорции так же равно 16.

4 × 4 = 2 × 8

16 = 16

4 × 4 = 2 × 8 — произведение крайних членов равно произведению средних членов. Значит пропорция  составлена правильно.


Пример 2. Проверить правильно ли составлена пропорция

Проверим равно ли произведение крайних членов пропорции произведению её средних членов. Перемножим члены пропорции крест-накрест:

2 × 6 = 12 — произведение крайних членов пропорции равно 12

3 × 1 = 3 — произведение средних членов пропорции равно 3

2 × 6 ≠ 3 × 1

12 ≠ 3

2 × 6 ≠ 3 × 1 — произведение крайних членов пропорции НЕ равно произведению её средних членов. Значит пропорция  составлена неправильно.

Поэтому в пропорции  разумнее заменить знак равенства (=) на знак не равно (≠)


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Составить пропорцию

Составить пропорцию. В этой статье хочу поговорить с вами о пропорции. Понимать, что такое пропорция, уметь составлять её – это очень важно, она действительно спасает. Это вроде бы маленькая и незначительная «буковка» в большом алфавите математики, но без неё математика  обречена быть хромой  и неполноценной. Для начала напомню, что такое пропорция. Это равенство вида:

что тоже самое (это разная форма записи).

Пример:

Говорят – один относится к двум также, как четыре относится к восьми. То есть это равенство двух отношений (в данном примере отношения числовые).

Основное правило пропорции:

a:b=c:d

произведение крайних членов равно произведению средних

то есть

a∙d=b∙c

*Если какая-либо величина в пропорции неизвестна, ее всегда можно найти. 

Если рассматривать форму записи вида:

то можно использовать следующее правило, его называют «правило креста»: записывается равенство произведений элементов (чисел или выражений) стоящих по диагонали

a∙d=b∙c

Как видите результат тот же.

Если три элемента пропорции известны, то мы всегда можем найти четвёртый.

Именно в этом суть пользы и необходимость пропорции при решении задач.

Давайте рассмотрим все варианты, где неизвестная величина х находится в «любом месте» пропорции, где a, b,  c – числа:

Величина стоящая по диагонали от х записывается в знаменатель дроби, а известные величины стоящие по диагонали записываются в числитель, как произведение. Его запоминать не обязательно, вы и так всё верно вычислите, если усвоили основное правило пропорции.

Теперь главный вопрос, связанный с названием статьи. Когда пропорция спасает и где используется? Например:

1. Прежде всего это задачи на проценты. Мы рассматривали их в статьях «Задачи на проценты. Часть 1!» и «Задачи на проценты. Часть 2!».

2. Многие формулы заданы в виде пропорций:

    > теорема синусов

    > отношение элементов в треугольнике

    > теорема тангенсов

> теорема Фалеса и другие.

3. В задачах по геометрии в условии часто задаётся отношение сторон (других элементов) или площадей, например 1:2, 2:3  и прочие.

4. Перевод единиц измерения, причём пропорция используется для перевода единиц как в одной  мере, так и для перевода из одной меры в другую:

  —  часы в минуты (и наоборот).

  —  единицы объёма, площади.

  —  длины, например мили в километры (и наоборот).

  —  градусы в радианы  (и наоборот).

здесь без составления пропорции не обойтись.

Ключевой момент в том, что нужно правильно установить соответствие, рассмотрим простые примеры:

Необходимо определить число, которое составляет 35%  от 700.

В задачах на проценты за 100% принимается та величина, с которой сравниваем. Неизвестное число обозначим как х. Установим соответствие:

Можно сказать, что семисот тридцати пяти соответствует 100 процентов.

Иксу соответствует 35 процентов. Значит,

700    –    100%

х       –     35 %

Решаем

Ответ: 245

Переведём 50 минут в часы.

Мы знаем, что одному часу соответствует 60 минут. Обозначим соответсвие — x часов это 50 минут. Значит

1    –    60

х    –    50

Решаем:

То есть 50 минут это пять шестых часа.

Ответ: 5/6

Николай Петрович проехал 3 километра. Сколько это будет в милях (учесть, что 1 миля это 1,6 км)?

Известно, что 1 миля это 1,6 километра. Число миль, которые проехал Николай Петрович примем за х. Можем установить соответствие:

Одной миле соответствует 1,6 километра.

Икс миль это три километра.

1    –    1,6

х    –    3

Ответ: 1,875 миль

Вы знаете, что для перевода  градусов в радианы (и обратно) существуют  формулы. Я их не записываю, так как запоминать их считаю излишним, и так вам в памяти приходится держать много информации. Вы всегда сможете перевести градусы в радианы (и обратно), если воспользуетесь пропорцией.

Переведём 65 градусов в радианную меру.

Главное это запомнить, что 180 градусов это Пи радиан.

Обозначим искомую величину как х. Устанавливаем соответствие.

Ста восьмидесяти градусам соответствует Пи радиан.

Шестидесяти пяти градусам соответствует х радиан.

Если записать отношение в общем виде, то получится

То есть, если необходимо перевести градусы в радианы, то подставляете в эту пропорцию градусы и вычисляете радианы; если необходимо перевести радианы в градусы, то подставляете радианы  и вычисляете градусы.

Можете изучить статью по этой теме на блоге. Материал в ней изложен несколько по иному, но принцип тот же. На этом закончу. Обязательно будет ещё что-нибудь интересненькое, не пропустите!

Если вспомнить само определение математики, то в нём есть такие слова: математика изучает количественные ОТНОШЕНИЯ (ОТНОШЕНИЯ — здесь ключевое слово). Как видите в самом определении математики заложена пропорция. Вообщем, математика без пропорции это не математика!!!

Всего доброго!

С уважением, Александр 

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Пропорции человека. Для рисующих и прочих :))): 3d_tutorials — LiveJournal

Особенности изображения людей разного возраста, пола, расы.






1. Пропорции человека


Древнейшие
данные о законах пропорций человеческого тела были найдены в гробнице
пирамиды близ Мемфиса (около 3000 лет до н. э.). С тех времен ученые и
художники работают над раскрытием тайны пропорции человеческого тела.
Нам известен египетский канон времени фараонов, канон эпохи Птолемеев,
каноны Древней Греции и Рима. Пропорции изучали: Поликлет, канон,
которого долгое время был общепризнанным, Альберти, Леонардо да Винчи,
Микеланджело, Дюрер. В этих исследованиях размеры человеческого тела
определялись по отношению к размеру головы, лица или стопы.

Человеческое тело имеет следующие пропорции:




  • длина
    четырёх пальцев равна длине ладони, четыре ладони равны стопе, шесть
    ладоней составляют один локоть, четыре локтя — рост человека;


  • четыре локтя равны шагу, а двадцать четыре ладони равны росту человека;


  • если
    вы расставите ноги так, чтобы расстояние между ними равнялось 1/14
    человеческого роста, и поднимите руки таким образом, чтобы средние
    пальцы оказались на уровне макушки, то центральной точкой тела,
    равноудаленной от всех конечностей, будет ваш пупок;


  • пространство между расставленными ногами и полом образует равносторонний треугольник;


  • размах разведенных рук будет равен росту;


  • расстояние от корней волос до кончика подбородка равно одной десятой человеческого роста;


  • расстояние от верхней части груди до макушки составляет 1/6 роста;


  • расстояние же от верхней части груди до корней волос — 1/7 роста;


  • расстояние от сосков до макушки составляет ровно четверть роста;


  • наибольшая ширина плеч — восьмая часть роста;


  • расстояние от локтя до кончиков пальцев — 1/5 роста, от локтя до подмышечной ямки — 1/8;


  • длина всей руки — это 1/10 роста;


  • начало гениталий находится как раз посредине тела;


  • стопа — 1/7 часть роста;


  • расстояние
    от мыска ноги до коленной чашечки равно четверти роста, а расстояние от
    коленной чашечки до начала гениталий также равно четверти роста;


  • расстояние от кончика подбородка до носа и от корней волос до бровей будет одинаково и, подобно длине уха, равно 1/3 лица.


При определении пропорций в качестве «единицы измерения» чаще всего используется голова.


2. Ребенок. Рост и пропорции  тела



Разница
в строении тел младенца и взрослого человека достаточно очевидна,
однако происходящие из года в год изменения трудноуловимы. С первого
взгляда может показаться, что шестилетний и двухлетний ребенок вообще
ничем не различаются. На самом деле существует целый ряд отличий,
которые должны учитываться.


Новорожденный
отличается от взрослого человека относитель но короткими конечностями,
большим туловищем и большой голо вой. Высота головы новорожденного
составляет 1/4 длины тулови ща, у ребенка 2 лет— 1/5, 6 лет—1/б, 12
лет—1/7 и у взрослых — 1/8. С возрастом рост головы замедляется, а рост
конечностей уско ряется. До начала периода полового созревания половые
различия в пропорциях тела отсутствуют, однако в период полового
созревания у юношей конечности становятся длиннее, туловище короче, а
таз уже, чем у девушек.

   Можно отметить три периода различия пропорций между дли ной и
шириной тела: от 4 до б лет, от б до 15 лет и от 16 лет до взрослого
состояния.

Рост
ребенка измеряется не в единицах высоты головы взрослого человека, а в
единицах высоты головы, характерной для его собственного возраста.

   Пропорции частей тела ребенка и взрослого также различаются. У
ребенка с момента рождения до приблизительно двухлетнего возраста
геометрический центр тела находится в районе пупка, в то время как
геометрический центр тела взрослого человека расположен вблизи
промежности. Под геометрическим центром здесь подразумевается точка
половинной высоты тела. Таким образом, длина ног взрослого человека
приблизительно равна расстоянию от промежности до макушки. Ноги младенца
еще не несут никаких нагрузок и не участвуют в процессе движения,
поэтому они имеют относительно меньшую длину.



3. Ребенок. Черты лица



Ниже приводятся правила, следуя которым в процессе лепки головы ребенка, можно избежать неточностей.




  • Лицо
    младенца мало по сравнению с размерами его головы. Если глаза взрослого
    человека лежат на средней горизонтальной линии головы, то глаза ребенка
    расположены ниже аналогичной линии.


  • Нижняя
    челюсть младенца расположена почти горизонтально вдоль нижнего края
    черепа. В процессе роста челюсть отклоняется вниз, в результате голова
    становится более вытянутой.


  • У младенца маленький подбородок.


  • Нос
    младенца обычно невелик и вздернут вверх, что дает ему возможность
    свободно дышать во время кормления. Переносица младенца более плоская,
    чем у взрослого.


  • Задняя
    сторона головы младенца сильнее выступает по отношению к тыльной
    стороне шеи, чем у взрослого человека, при этом шея младенца гораздо
    тоньше шеи взрослого. (Настолько тоньше, что новорожденному младенцу
    обычно даже не хватает сил поддерживать свою собственную голову.)


  • Поскольку
    у ребенка размер лица относительно головы меньше, чем у взрослого,
    кажется, что глаза ребенка отстоят друг от друга на большее расстояние.


  • Радужная
    оболочка глаза ребенка выглядит большой по сравнению с глазом
    взрослого. В действительности радужная оболочка новорожденного имеет
    практически тот же размер, что и у взрослого человека, а вот глаза
    младенца раскрываются в меньшей степени. В процессе роста ребенка его
    глаза становятся все шире и шире, и кажется, что диаметр радужных
    оболочек уменьшается.


  • Ресницы
    у ребенка кажутся более длинными, чем у взрослого. Это опять-таки
    происходит по причине различий в относительных размерах лиц.


  • Брови ребенка тоньше.


  • Верхняя
    губа ребенка имеет характерное отличие, из-за которого ее даже называют
    «молочной губой», представляющее собой маленький выступ в центре.


  • Губы ребенка выглядят более пухлыми и выпуклыми и имеют в уголках значительные ямочки.


  • Подбородок ребенка меньше, а его щеки — круглее, чем у взрослого.


  • Самое
    характерное для детского лица-это большой лоб, маленький нос и
    подбородок и большие глаза(я имею в виду радужку и зрачек,так как само
    яблоко может быть не сильно видно). Глазное яблоко-это единственная
    часть нашего организма,которая не растет. И в сравнении с детскими
    пропорциями лица радужки кажутся большими, а на взрослом лице меньше.

    Лоб у ребенка может занимать чуть ли не половину лица.А нос где-то
    половину лба. Можете даже проверить. Нарисуйте овал, приближенный к
    кругу,разделите его пополам и на нижней половине нарисуйте лицо с
    маленьким носом. Уже автоматически получится ребенок. А если овал
    вытянуть,глаза переместите выше,нос удлинить, получится взрослый.



  • Изображая
    детское личико нужно стремиться к нежным тонам. Никаких угловатых
    линий, темных резких теней. У ребенка все обтекаемо и округло. Бровки
    еле заметны (если, конечно, ребенок не жгучий брюнет).

    У взрослого лица классические пропорции такие:лоб, нос и нижняя часть
    лица примерно равны. А уж форма носа глаз и прочее-это уже кому как
    угодно.

    Это сухая теория.В искусстве нет ограничений.Но все должно подчиняться
    заложенной идее, выявлять образ и характер. Можно сделать и ребенка со
    старческим лицом,и инфантильного взрослого, лишь бы все было оправдано
    задумкой.

    ВЗЯТО: http://rigierukodelki.blogspot.com/…%B5%D0%B7%D1%8B                    



  •                      4. Пожилой человек. Рост и пропорции тела


С
возрастом в теле человека происходит множество необратимых процессов.
Позвоночник сжимается и укорачивается, поскольку хрящевые диски стареют и
становятся тоньше. Различные возрастные болезни, типа остеопороза,
вызывают сжатие и деформацию самих костей, в особенности позвонков.
Позвоночник искривляется, человек становится сгорбленным.

   Так как искривление позвоночника с возрастом увеличивается,
возникает впечатление, что шея опускается вглубь грудной клетки. В
результате этих процессов рост человека может сократиться на величину от
половины до целой высоты головы. Такие изменения ведут к тому, что
фигура человека приобретает болезненный вид.


                                                


                                                                              6. Мужчины и женщины. Различия фигур


Основные
различия наблюдаются в пропорциях и массе. Кроме того, существуют
небольшие отличия в строении скелета, например, в тазовой области. Как
правило, все размеры тела женщины, за исключением ширины бедер, меньше,
чем у мужчины.

Пропорции женщины


Пропорции мужчины


   Вот некоторые простые соотношения, которые следует запомнить:




  • Плечи мужчин обычно шире. Ширина плеч составляет две высоты головы для мужчин и две ширины головы для женщин.


  • Мужчины имеют более узкие бедра, в две ширины головы, а женщины — в две с половиной ширины головы.


  • Если
    вы хотите сделать женскую фигуру ниже, обычно следует уменьшать высоту
    бедер (на величину до половины высоты головы) и верхнюю часть рук (до
    одной трети высоты головы).


  • Локоть обычно располагается как раз над талией. (Вспомните, как выглядит обезьяна с ее достающими до пола руками!)


  • Кисти рук расположены на уровне промежности.


  • Голова и торс вместе составляют обычно половину длины тела.


  • Длина кисти руки от основания ладони до конца среднего пальца равна расстоянию от подбородка до середины лба.


  • Предплечье от внутренней стороны локтя до запястья имеет ту же длину, что и ступня.


  • Ширина головы обычно равна пятикратной ширине глаза.


Женщина
обладает более толстым жировым слоем, покрывающим поверхность скелета. В
результате ее тело менее угловато и более округло.

Голова
женщины также более гладкая и округлая. Брови на женском лице выступают

меньше и над носом нет резкого костного выступа. В целом черты женского
лица обычно мельче мужских, хотя губы женщин часто оказываются полнее.
Шея и плечи женщины выглядят более тонко и изящно. Это особенно сильно
проявляется в размере и форме плеч. У женщины они меньше, а ее ключицы,
как правило, сильнее наклонены вниз по направлению к грудине. В
результате этого женские плечи выглядят более округлыми. У мужчины
ключицы расположены ближе к горизонтали, а его плечи шире. В итоге
мужское тело выглядит более угловатым.

Относительная

длина торса женщины несколько больше мужского в сравнении с общим
размером тела. Ее грудная клетка меньше, округлее и служит опорой для
развитой груди. Таз женщины короче, но шире и глубже. Для облегчения
родов он немного наклонен вперед. В результате этого поясничный отдел
позвоночника женщины изогнут сильнее.

Ноги и руки у женщин обычно короче, чем у мужчин.


Самые
значительные отличия в длинах частей тела мужчин и женщин наблюдаются в
области плечевой кости руки и по всей длине ноги. В среднем верхняя
часть женской руки короче, в результате чего ее локоть располагается
немного выше по отношению к торсу, чем у мужчин. Женские запястья и
ладони также меньше. Бедра женщины короче мужских, потому что ее
бедренные кости расходятся от более широкого таза под большим углом. По
этой же причине женские бедра по направлению к коленям выглядят более
округло.


Не
забудьте про то, что нижняя часть ног у женщины также немного короче,
чем у мужчины. Благодаря слою подкожного жира женские ноги выглядят
более гладкими, а икры выступают не так рельефно. Женские лодыжки
округлее и менее рельефны, чем мужские, а ступни женщин меньше и уже.


7. Расовые отличия во внешности


Рассмотрим
особенности внешности только трех рас: европеоидной, монголоидной и
негроидной, хотя на деле существует множество различных подтипов.
Сконцентрируем внимание на тех чертах, которые дают визуальный ключ к
определению расовой принадлежности. Это тип волос, цвет кожи, форма
головы, силуэт лица, а также такие элементы, как глаза, нос и губы.


Европейцы

Представителей

европеоидной расы обычно характеризуют как людей с белым или светлым
цветом кожи. Цвет глаз и волос европейцев может быть совершенно
различным. Волосы у них, как правило, волнистые, но могут быть какими
угодно, от совершенно прямых до очень кудрявых.При взгляде в профиль
можно заметить, что голова типичного европейца имеет средний размер, а
подбородок обычно выдается вперед меньше, чем нос. Нос европейца —
высокий, а губы — относительно тонкие.


Монголоиды


Монголоидное
лицо обычно известно своей особенной формой глаз. Разрез глаз
монголоидов может обладать или не обладать раскосостью, характеризуемой
наклоном глаз вниз к центру лица, в зависимости от расовой подгруппы
конкретного субъекта. Когда глаза открыты, верхние веки почти исчезают
из-за наличия кожной складки, которая немного заходит за нижний край
глаза в районе слезного протока, а иногда может перекрывать нижний край и
на внешней стороне глаз.


Другой
характерной особенностью монголоидных глаз является уплощенность
области их орбит. Поскольку переносица у монголоидов низкая, а глаза
выпуклые, глубина посадки глаз на лице оказывается незначительной. Важно
отметить, что их брови обычно немного развернуты вверх к наружным краям
лица и могут внезапно обрываться на концах.


Кожа
монголоидов, как правило, отливает желтым или коричневым цветом, а цвет
глаз в большинстве случаев коричневый. Волосы у монголоидов черные и
прямые. Типичный подбородок лица монголоидного типа выступает вперед
немного дальше носа, но не так сильно как на лице негроида. Нос низкий,
но не плоский, а губы имеют среднюю толщину.


Негроиды


Представителей
негроидной расы обычно называют чернокожими, имея в виду людей с цветом
кожи от коричневого до темно-коричневого. Их волосы, как правило, более
густые, чем у европейцев, и обычно очень кудрявые. У африканцев
преобладают темно-коричневые или черные глаза и волосы.


Если
посмотреть сбоку, то заметно, что подбородок негроидов выступает вперед
дальше носа, а их нос приплюснут. Губы обычно сравнительно толстые.
Именно черты лица негроидного типа будут определять верный вариант
внешности и не позволят сказать, что изображен просто европеец с черным
цветом кожи.


8. Искажения пропорций


Замечено,
что если слепить фигуру человека, руководствуясь идеальными
пропорциями, она будет «резать» глаз. Все дело в том, что художник,
соблюдая основные правила и каноны пропорций человеческого тела, всегда
немного (а иногда и значительно) искажает пропорции.


Удлините
тело, и его форма станет более элегантной. Если высота типового тела
составляет около восьми размеров головы, то рост элегантной модели может
быть увеличен до пятнадцати размеров головы в зависимости от того,
какой эффект нужно получить.


Исследователи
творчества Микеланджело установили, что он придавал своим скульптурам
необычные пропорции, делая их рост равным девяти, десяти, а иногда даже
двенадцати размерам головы в целях достижения гармонии и грации,
отсутствующих в природе. Именно Микеланджело приписывают высказывание о
том, что нужно иметь направляющий компас в глазах, а не в руках.


В противоположность Микеланджело некоторые фигуры Рафаэля имеют высоту всего лишь в шесть размеров головы.


На
иконах тела обычно имеют удлиненные пропорции, и соотношение
голова/тело обычно 1/9, а у Дионисия — даже 1/11. Это придает
изображаемому выражение одухотворенности. Но иногда голова представала и
непропорционально большой, как бы подчиняющей себе все остальное.
Интересна точка зрения, что стремление выделиться крупной головой
привело к возникновению у туркмен и кавказских горцев обычая носить
большие шапки, фуражки.


Если
красота — субъективное понятие, зависящее от того, каким взглядом
смотрит на творение зритель, то вы, как создатель своих персонажей,
обязаны уметь реализовывать тот тип «красоты», который требуется. Освоив
основы анатомии и пропорций, следует воспользоваться собственными
художественными способностями, чтобы придать персонажам желательный
облик

основные параметры, идеальная женская фигура и как ее добиться

Идеальные параметры нашего тела зависят не только от количества мускул, их рельефности, стройности и роста. Ключевым фактором являются пропорции тела. В данной статье мы расскажем вам о современных стандартах красоты, идеальных мужских и женских фигурах, их классических пропорциях, а также дадим несколько рекомендаций и представим вашему вниманию несколько полезных советов от экспертов.

Современные стандарты красоты: основные параметры

В современном мире существуют свои понятия и идеальные параметры тела. Каждый из нас хоть раз в жизни задумывался о том, а подходят ли его характеристики под эти значения? Ниже мы представим вашему вниманию классические идеальные пропорции тела человека в современном фитнессе и бодибилдинге.

Рост

Данный критерий люди привыкли считать наиболее важным, чем другие, хотя это в корне неверно. Однако в быту сложилось такое мнение, что чем выше человек, тем он сильнее, мужественнее и опаснее в конфликтах.

Стандартные параметры роста для жителей России и стран СНГ:

  • люди с ростом ниже 170 см считаются маленькими;
  • 175-185см считается средним и оптимальным ростом;
  • люди с ростом выше 190 см считаются высокими.

Стоит заметить, что люди разных народов и национальностей имеют различные средние показатели, и вышеприведенные цифры для них не будут считаться нормой. Если вы хотите стать выше, то для этого нужно приложить немало усилий в определенных тренировках по увеличению роста. Также необходимо знать, что данный параметр после 25 лет скорректировать невозможно.

Рост каждого человека индивидуален, исходя из этого, каждый для себя может подсчитать идеальные пропорции роста и веса. Существует способ это проверить – индекс Кетле.

Он актуален для мужчин и женщин в возрасте от 20 до 60 лет. Чтобы определить свои пропорции тела и узнать их показатель относительно нормы, необходимо решить простое арифметическое уравнение. Но результат может оказаться неправильным, если вы профессиональный спортсмен, беременная женщина или юноша.

Измерьте свой рост, возведите его во вторую степень. После этого массу тела нужно разделить на полученную цифру. Пример: 175 см, 70 кг; 70:(1,75*1,75) =  22,8. Ответ в уравнении будет считаться правильным индексом пропорции тела.

  • норма у мужского пола – 19,5-25,5;
  • норма у женского пола – 19,5-24,5;
  • дефицит массы – до 18,5;
  • избыток – 25,5-29,5;
  • ожирение первой степени – 30-35;
  • второй степени – 35-40;
  • третьей степени – 40+.

Талия

Исходя из таблицы идеальных пропорций, приведем оптимальные соотношения талии к росту у мужчин и женщин:

  • рост 150-155 см: минимальное – 55 см, максимальное – 60 см;
  • 155-160 см: 60, 65;
  • 160-170 см: 63, 69;
  • 170-180 см: 69, 73.

Для того чтобы определить объем вашей талии, измерьте ее сантиметром в месте, где начинаются ребра.

Ноги

Стандартом длины ног принято считать 50-56% от роста человека, в зависимости от пола. Данный замер вы должны делать стоя, выпрямив спину. Обхваты лодыжек, бедер и голеней должны быть пропорциональны длине всего тела. К примеру, идеальное соотношение этих частей тела при росте 175-180 см – 59,38 и 21 см.

Бедра

Чтобы узнать объем своих бедер, необходимо провести замер их окружности немного выше паха.

Стандартные показатели объема бедер для мужчин и женщин разного роста:

  • рост 150-155 см: 83- 90 см;
  • 155-160 см: 85-100 см;
  • 160-170 см: 85-106 см;
  • 170-180 см: 90-110 см.

Грудь

Для того чтобы измерить грудную клетку, необходимо провести замер окружности грудных мышц при опущенных вдоль тела руках .

Средней нормой для мужчин и женщин считаются размеры:

  • рост 150-155 см: 73-85 см;
  • 155-160 см: 80-88 см;
  • 160-170 см: 85-95 см;
  • 170-180 см: 89-99 см.

Учитываем возраст

Выше были приведены примеры для мужчин и женщин от 25 до 35 лет. С возрастом идеальные пропорции будут изменяться, так как человек с этого момента уже начнет стареть. Длина туловища, рук, ног со временем будут уменьшаться. Для того чтобы максимально замедлить процесс старения, необходимо систематически заниматься физическими упражнениями.

Если вы недовольны своим ростом, длиной конечностей, то после того, как вы усердно поработаете над собой, эти показатели можно привести близкими к идеалу. Но стоит учитывать тот факт, что после 25 лет это сделать будет уже невозможно, так как процесс роста и развития тела остановится.

Идеальная мужская фигура

Существует множество способов определить, идеальную ли мужскую фигуру ли вы имеете. Ведь наличие крепкого тела, идеальных ног с развитой мускулатурой ни о чем еще не говорит. Рассмотрим основные соотношения, пропорции и индексы идеальной человеческой фигуры.

Соотношение талии и плеч

Идеальное соотношение ширины плеч и талии у мужчин является главным признаком эталонного тела.

Стандартом красоты является соотношение обхвата предплечья к окружности талии, оно должно быть 0,75. Данный показатель является стандартом и считается самым привлекательным для женского пола.

Если ваше соотношение талии и плеч не дотягивает до этого стандарта, не стоит расстраиваться. Ведь в современном бодибилдинге существует множество вариантов тренировок для получения необходимых пропорций. К примеру, если вам нужно уменьшить полученное значение, то нужно придерживаться режимов занятий, которые будут способствовать сжиганию жировых калорий в этих местах. При этом необходимо нарастить плечевые и спинные мышцы.

Стандартные значения обхвата талии у мужчин с различным ростом:

  • 165-172 см – 76-80 см;
  • 170-183 см – 80-83 см;
  • 180-190 см – 83-86 см.

Стандартные значения обхвата плеч:

  • 165-172 см – 41-43 см;
  • 172-183 см – 43-45 см;
  • 180-190 см – 45-47 см.

Соотношение груди и талии

Идеальными пропорциями мужского тела принято считать фигуру, схожую с перевернутым треугольником (V). При таком телосложении выделяется грудная клетка, а талия является узкой.

Определить идеальные параметры мужской фигуры поможет разность между окружностями грудной клетки и талии. Эталоном принято считать значение, равное 25.

По наблюдениям ученых, мужчины с такими показателями имеют довольно крепкое здоровье и меньше болеют.

Стандартные значения обхвата талии у мужчин с различным ростом:

  • 165-172 см – 76-80 см;
  • 170-183 см – 80-83 см;
  • 180-190 см – 83-86 см.

Стандартные значения обхвата груди:

  • 165-172 см – 115-118 см;
  • 172-183 см – 118-123 см;
  • 180-190 см – 123-128 см.

Индекс Адониса

Данный способ расчета идеальных пропорций тела мужчины был разработан древними греками.

В основе индекса Адониса лежат пропорции «золотого сечения». Метод заключается в том, чтобы разделить целое на две части, при котором соотношение большего к меньшему будет равно соотношению целого к большему. Главными значениями для определения «золотого сечения» в человеческой анатомии являются ширина плеч, талия и общий рост. Так, «золотым сечением» (идеальными параметрами человека) будет считаться соотношение талии и плеч 1:1,618.

Классические пропорции тела

Каждый человек имеет различную пропорциональность своего тела.

Взяв средние показатели из таблицы пропорций идеального телосложения, приведем каноны пропорций:

При росте 165-170 см:

  • вес – от 65 до 72 кг;
  • плечи – от 35 до 37 см;
  • шея – от 35 до 37 см;
  • грудь – от 105 до 110 см;
  • талия – от 75 до 80 см;
  • бедро – от 55 до 57 см;
  • голень – от 35 до 37 см.

При росте 170-175 см:

  • вес – от 72 до 80 кг;
  • плечи – от 37 до 40 см;
  • шея – от 37 до 40 см;
  • грудь – от 110 до 115 см;
  • талия – от 80 до 85 см;
  • бедро – от  57 до 37 см;
  • голень – от 35 до 40 см.

При росте 175-185 см:

  • вес – от 81 до 90 кг;
  • плечи – от 40 до 45 см;
  • шея – от 40 до 45 см;
  • грудь – от 115 до 125 см;
  • талия – от 85 до 95 см;
  • бедро – от 60 до 65 см;
  • голень – от 40 до 45 см.

Пропорции согласно да Винчи

Великий ученый Леонардо да Винчи создал свои пропорции идеальной фигуры мужчины и женщины.

Согласно да Винчи, идеальные пропорции мужского тела должны соответствовать следующим параметрам:

  • рост – 24 ладони;
  • дли ступни – 4 ладони;
  • длина локтя – 6 ладоней;
  • длина рук и объем плеч – 1.6 от общего роста;
  • длина одного уха – 0,33 от длины головы;
  • расстояние от подбородка до начала волос на лбу – 0.1 от общего роста;
  • расстояние от подбородка до макушки – 0,125 от общего роста;
  • расстояние от волос до бровей – 0,33 от общей длины лица;
  • расстояние от подмышек до локтевой части – 0,125 от роста.

Стандарты в бодибилдинге

В настоящее время эталоном мужского тела являются профессиональные бодибилдеры. Они приобрели идеальные параметры тела после долгих и упорных тренировок над собой.

Идеальные пропорции в бодибилдинге – это:

  • четкие линии трапеции;
  • рельефные мышцы;
  • конусообразные грудные мышцы;
  • четко выраженные мышцы спины;
  • стройная шея;
  • развитые мускулы нижних конечностей.

Также неотъемлемой частью является крепкое телосложение, которое можно рассчитать по индексу Пинье.

Индекс Пинье = Рост (см) – Вес (кг) – Обхват груди (см).

По результатам определяется тип телосложения:

  • меньше 10 – крепкое;
  • 10-20 – нормальное;
  • 21-25 –среднеем
  • 26-35 – слабое;
  • больше 36 – очень слабое.

Видео «Какой должна быть идеальная фигура»

Идеальная женская фигура

Каждая девушка хочет быть красивой и прикладывает для этого массу усилий. В мире фитнесса и моды существуют идеальные пропорции женского тела (ног, талии, груди, бедер и т.д.).

Основные типы женского телосложения

Выделяют пять видов телосложения женщины :

Треугольник. Характерными признаками данного тела у женщин являются:

  • объемные бедра;
  • узкие плечи;
  • небольшой объем талии;
  • верхняя часть тела длиннее нижней.

V-образный тип:

  • объем бедер меньше объема плеч;
  • верхняя часть тела короче нижней;
  • талия не выражена.

Прямоугольник:

  • примерно равная ширина частей тела;
  • талия не выражена;
  • выступающий живот;
  • при небольшом весе сильный мышечный рельеф.

Восьмерка. Классический тип, который востребован в модельном бизнесе (пропорции тела 90/60/90):

  • нижняя часть тела пропорциональна верхней;
  • узкая талия;
  • талия к бедрам имеет соотношение 0,7.

Круг:

  • выраженная грудь;
  • худые ноги;
  • небольшой объем плеч;
  • объемная талия

Классические пропорции для женщин

Идеальные пропорции тела для женщин были разработаны Д. А. Конохиным.

Согласно его расчетам, на один сантиметр общей длины тела приходится:

  • шея – 0,17-0,21 см;
  • плечо – 0,17-0,21 см;
  • бедра – 0,31-0,35 см;
  • грудная клетка – 0,45-0,5 см;
  • таз – 0,55-0,65 см;
  • талия – 0,36-0,41 см.

Чтобы понять, насколько ваше тело соответствует идеальным формам, умножьте рост (см) на выше представленные значения из таблицы. После чего измерьте окружности интересующих вас частей тела. Результат покажет, насколько вы близки или далеки от стандарта.

Утонченная талия

Телосложение каждой женщины по-своему индивидуально и уникально. Идеальные параметры женщин существенно отличаются от мужской фигуры.

Ниже приведены стандарты ширины объема талии для девушек разного роста:

  • рост 150-155 см – талия 57-58 см;
  • 155-160 см – 58-60 см;
  • 160-165 см – 60-62 см;
  • 165-170 см – 60-64 см;
  • 170-175 см – 64-66 см;
  • 175-180 см – 66-68 см.

Допустимые нормы отклонений могут достигать пяти сантиметров. Измерения будут точными, если на вашей талии нет лишних жировых отложений.

Соотношение бедер и груди

В мире моды и модельного бизнеса самыми главными параметрами для женщин являются бедра, грудь и талия.

Обхват предплечья должен быть равен объему бедер. В первую очередь это выглядит эстетически красиво. Если ваше телосложение другое, не нужно расстраиваться. В фитнесе существует множество определенных тренировок для того, чтобы подогнать бедра и грудь к идеальному соотношению.

Параметры роста

Не существует понятия идеального роста для женщины. Ведь каждый человек индивидуален сам по себе. Также в разных странах и народах средний рост может отличаться.

Чтобы определить, идеальное ли у вас соотношение роста к другим частям тела, необходимо прибегнуть к методу «золотого сечения» (индексу Адониса), о котором мы писали выше в данной статье. К примеру, ширина плеч должна составлять 1/7 от роста.

Длина ног

Идеальные пропорции ног девушки зависят от того, какая у нее кость – тонкая или широкая. Приведем пример идеальных пропорций ног к телу:

  • если у девушки широкая кость, то ноги должны быть примерно на 1,5-4,5 см длиннее, чем половина длины полного роста;
  • если средняя кость, то их длина должна быть на 4-7 см больше;
  • тонкая – 50% роста + 6,5-10 см.

Как достичь идеальных параметров

Для того чтобы достичь идеальных параметров, следует придерживаться определенного режима тренировок, вести исключительно здоровый образ жизни, систематически измерять обхват груди и обхват бедер.

Именно в этих частях тела больше всего накапливаются жировые отложения.

Регулярные тренировки

Чтобы быстрее добиться необходимого результата, нужно регулярно тренироваться. В интернете существует множество таблиц и методик для мужчин и женщин для улучшения своего тела и поддержания его в тонусе. Приведем основные правила, которых вы должны придерживаться во время занятий спортом:

  1. Не перегружайте себя. Излишнее переутомление не даст желаемых результатов, а только навредит вашему телу.
  2. Занимайтесь интенсивными тренировками не каждый день. Ежедневные плотные занятия спортом не будут давать своих плодов, так как мышечная масса нарастает во время отдыха.
  3. Для увеличения объема грудной клетки самыми простыми способами являются отжимания, подтягивание на турнике.
  4. Чтобы подтянуть ягодичные мышцы, больше занимайтесь бегом и приседаниями по утрам.

Знайте, что регулярные тренировки помогут вам не только набрать мышечную массу или сжечь калории, но и укрепят здоровье, иммунитет, уменьшат риск развития большинства заболеваний.

Правильное питание

Немаловажным критерием для получения идеального тела является правильное питание.

Дадим вам несколько полезных советов:

  1. Питайтесь четыре раза в день, но небольшими порциями. Так вы снизите риск отложения жиров и улучшите пищеварение.
  2. Не ешьте жирную и жареную пищу.
  3. Употребляйте продукты, которые богаты белком. Именно он способствует более быстрому росту мышц после тренировок.
  4. Для поддержания талии у женщин, больше ешьте «зеленых» и «красных» продуктов.
  5. Следите за нормой калорий в день.
  6. Не пейте газировку и постарайтесь употреблять минимальное количество сахара.

Рекомендации специалистов

Чтобы достичь идеальных стандартов мужского или женского тела, приведем несколько рекомендаций специалистов:

  1. Не верьте ложным обещаниям. Для того чтобы получить нужный результат, необходимо много тренироваться.
  2. Не употребляйте стероиды и т.п. Все препараты данного типа дают временный эффект. После прекращения курса приема у вас может обвиснуть кожа.
  3. Определитесь, что именно вы хотите улучшить в своем теле. Так можно быстрее добиться необходимого результата.
  4. Помимо тренировок, соблюдайте режим спортивных диет.
  5. Запишитесь в спортзал. Занятия с тренером дадут результат намного быстрее, чем вы будете заниматься самостоятельно.
  6. Перед любой тренировкой нужно провести разминку. Если этого не сделать, высока вероятность того, что вы можете потянуть одну или несколько групп мышц.

Пропорция. Основное свойство пропорции. Математика, 6 класс: уроки, тесты, задания.

1. Запись пропорции по словесному описанию

Сложность: лёгкое

1
2. Выбор отношений, равных данному отношению

Сложность: лёгкое

2
3. Верные пропорции (целые числа)

Сложность: лёгкое

2
4. Истинность пропорции

Сложность: лёгкое

1
5. Крайние или средние члены пропорции

Сложность: лёгкое

1
6. Вычисление неизвестного члена пропорции 1

Сложность: среднее

2
7. Вычисление неизвестного члена пропорции 2

Сложность: среднее

2
8. Истинность пропорции

Сложность: среднее

2
9. Выбор отношений для составления пропорции

Сложность: среднее

2
10. Основное свойство пропорции (десятичные дроби)

Сложность: среднее

2
11. Уравнение (десятичные дроби)

Сложность: среднее

2
12. Уравнение (десятичные дроби и смешанное число)

Сложность: среднее

2
13. Составление пропорции

Сложность: среднее

2
14. Уравнение (обыкновенные дроби)

Сложность: среднее

3
15. Неизвестное число (смешанные числа и обыкновенная дробь)

Сложность: сложное

5
16. Составление пропорций (буквы)

Сложность: сложное

3
17. Неизвестное четвёртое число

Сложность: сложное

6

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *